Zanim jednak wykonamy jakiekolwiek obliczenia, zacznijmy od zdefiniowania kilku zmiennych, które są używane we wzorach.

• n – małe n, liczba rzuconych kości
• s – małe s, liczba ścian na pojedynczej kostce
• p – małe p, prawdopodobieństwo wyrzucenia dowolnej wartości na kostce
• P – duże P, ogólne prawdopodobieństwo dla zadanego działania

Istnieje prosta zależność: p = 1/s, więc im więcej boków ma kostka, tym mniejsze prawdopodobieństwo, że wyrzucona zostanie jakakolwiek podana liczba. Innymi słowy, prawdopodobieństwo uzyskania np. 7 na kostce dziesięciościennej jest dokładnie dwa razy większe niż prawdopodobieństwo wyrzucenia 7 na kostce 20-ściennej.

1. Prawdopodobieństwo wyrzucenia tej samej wartości na każdej kostce – o ile szansa na otrzymanie określonej wartości na pojedynczej kostce wynosi p, to musimy tylko pomnożyć to prawdopodobieństwo przez siebie samo tyle razy, ile wynosi liczba kostek. Innymi słowy, prawdopodobieństwo P jest równe p do potęgi n, czyli P = pⁿ = (1/s)ⁿ. Jeśli weźmiemy pod uwagę trzy 20-ścienne kości, szansa na wyrzucenie 15 na każdej z nich wynosi: P = (1/20)³ = 0,000125. A jeśli jesteś zainteresowany rzuceniem zestawu dowolnych identycznych wartości, po prostu pomnóż wynik przez całkowitą liczbę ścianek kości: P = 0,000125 * 20 = 0,0025.
2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia wszystkich wartości równych lub większych od pewnej liczby y – problem jest podobny do poprzedniego, ale tym razem p to 1/s pomnożone przez wszystkie możliwości, które spełniają warunek początkowy. Na przykład, powiedzmy, że mamy zwykłą kostkę i y = 3. Chcemy wyrzucić wartość 6, 5, 4 lub 3. Zmienna p to wtedy p = 4 * 1/6 = 2/3 i ostateczne prawdopodobieństwo to P = (2/3)ⁿ.
3. Prawdopodobieństwo wyrzucenia wszystkich wartości równych lub mniejszych od jakiejś liczby y – ten problem jest prawie taki sam jak poprzedni, ale tym razem interesują nas tylko liczby równe lub mniejsze od naszego celu. Jeśli weźmiemy identyczne warunki (s = 6, y = 3) i zastosujemy je w tym przykładzie, zobaczymy, że wartości 1, 2 i 3 spełniają tą regułę, a prawdopodobieństwo wynosi: P = (3 * 1/6 )ⁿ = (1/2)ⁿ.
4. Prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie X tych samych wartości (równych y) z zestawu kości — wyobraź sobie, że masz zestaw siedmiu 12-ściennych kostek i chcesz wiedzieć, jaka jest szansa na uzyskanie dokładnie dwóch dziewiątek. Jest trochę inaczej niż poprzednio, bo tylko część całego zestawu musi odpowiadać zadanym warunkom. Tutaj przydaje się prawdopodobieństwo dwumianowe. Dwumianowy wzór prawdopodobieństwa to: P(X=r) = nCr * pʳ * (1-p)ⁿ⁻ʳ, gdzie r to liczba sukcesów, a nCr to liczba kombinacji. W naszym przykładzie mamy n = 7, p = 1/12, r = 2, nCr = 21, więc końcowy wynik to: P(X=2) = 21 * (1/12)² * (11/12) ⁵ = 0,09439 lub P(X=2) = 9,439% w procentach.
5. Prawdopodobieństwo wyrzucenia ze zbioru kości co najmniej X takich samych wartości (równych y) – problem bardzo podobny do poprzedniego, ale tym razem wynikiem jest suma prawdopodobieństw dla X=2,3,4,5,6,7. Przechodząc do liczb, mamy: P = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7 ) = 0,11006 = 11,006%. Jak można się spodziewać, wynik jest nieco wyższy. Czasami precyzyjne sformułowanie problemu zwiększy Twoje szanse na sukces.
6. Prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnej sumy r z ilości n kostek s-stronnych – ogólny wzór jest dość złożony. Możemy jednak również spróbować rozwiązać ten problem ręcznie. Jednym z podejść jest znalezienie całkowitej liczby możliwych sum. Z parą zwykłych kości możemy wyrzucić sumy 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, ale te wyniki nie są równoważne! Spójrz, jest tylko jeden sposób na uzyskanie 2: 1+1, ale dla 4 są trzy różne możliwości: 1+3, 2+2, 3+1, a dla 12 jest znowu tylko jeden wariant: 6+6. Okazuje się, że 7 to najbardziej prawdopodobny wynik z sześcioma możliwościami: 1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1. Liczba permutacji z powtórzeniami w tym zbiorze wynosi 36. Prawdopodobieństwa możemy oszacować jako stosunek wyników korzystnych do wszystkich możliwych: P(2) = 1/36, P(4) = 3/36 = 1/12, P(12) = 1/36, P(7) = 6/36 = 1/6.
   Im większa liczba kostek, tym funkcja rozkładu sum zbliża się do rozkładu normalnego. Jak można się spodziewać, im większa liczba kostek i ścianek, tym więcej czasu zajmuje ocena wyniku na kartce papieru.
7. Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy ze zbioru, nie mniejszej niż x – podobnie jak w poprzednim zadaniu, musimy znaleźć wszystkie wyniki pasujące do warunku początkowego i podzielić je przez liczbę wszystkich możliwości. Biorąc pod uwagę zestaw trzech kostek dziesięciościennych, chcemy uzyskać sumę równą co najmniej 27. Jak widać, musimy dodać wszystkie permutacje dla 27, 28, 29 i 30, czyli odpowiednio 10, 6, 3 i 1. W sumie jest 20 dobrych wyników na 1000 możliwości, więc ostateczne prawdopodobieństwo wynosi: P(x ≥ 27) = 20 / 1000 = 0,02.
8. Prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy ze zbioru kostek, nie większej niż x – procedura jest dokładnie taka sama jak w przypadku poprzedniego zadania, ale musimy dodać tylko sumy mniejsze lub równe wartości docelowej. Mając taki sam zestaw kości jak powyżej, jaka jest szansa na rzucenie sumy maksymalnie 26? Gdybyś zrobił to krok po kroku, uzyskanie wyniku zajęłoby wieki (sumując wszystkie 26 sum). Ale jeśli się nad tym zastanowić, właśnie opracowaliśmy komplementarne wydarzenie w poprzednim problemie. Całkowite prawdopodobieństwo zdarzeń komplementarnych wynosi dokładnie 1 (tj. 100% lub 100% szans na wystąpienie wszystkich wyników), więc prawdopodobieństwo tutaj wynosi: P(x ≤ 26) = 1 – 0,02 = 0,98.